1. Den Konvektive Bølgeligning
Vi betragter et ensartet rør beklædt med et lydabsorberende materiale. I røret strømmer en gas (f.eks. udstødningsgas) med en konstant middelhastighed $V$. Lydens hastighed i gassen er $c$. Vi definerer Mach-tallet som $M = V/c$.
Lydtrykket $p(x,t)$ i én dimension, forudsat et jævnt flow, styres af den konvektive bølgeligning:
$$ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} - (1-M^2)\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{2M}{c}\frac{\partial^2 p}{\partial x \partial t} = 0 $$
Krydsleddet $\frac{\partial^2 p}{\partial x \partial t}$ opstår på grund af flowet og komplicerer tilføjelsen af dæmpningsleddet direkte, da løsningerne bliver asymmetriske.
2. Lorentz-Transformationen
Krydsleddet kan fjernes på to måder. Den fysisk mest direkte er at skifte til et referencesystem, der bevæger sig med flowet (en Galilei-transformation $x'' = x - Vt$, $t'' = t$). Her står gassen stille, og ligningen bliver straks den almindelige bølgeligning – men så bevæger rørets vægge sig. Vil man beholde væggene i ro, findes en transformation med samme matematiske form som Lorentz-transformationen, hvor lysets fart er erstattet af lydens. Vi introducerer "Lorentz-faktoren" for akustik:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-M^2}} $$
De transformerede koordinater $(x', t')$ defineres som:
$$ x' = \gamma\, x \quad \text{og} \quad t' = \frac{t}{\gamma} + \gamma\,\frac{M x}{c} $$
Ligesom i relativitetsteorien blandes sted og tid: tiden forskydes med et led, der afhænger af stedet. Ved indsættelse i den konvektive ligning via kædereglen forsvinder krydsleddet, og Mach-tallet er helt væk fra ligningen. Vi står tilbage med den simple d'Alembert-bølgeligning:
$$ \frac{\partial^2 p}{\partial x'^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t'^2} = 0 $$
3. Dæmpning og Invers Transformation
Dæmpningen regnes her som en egenskab ved selve gassen, sådan som Munjal behandler de viskøse og termiske tab: en bølge, der har tilbagelagt strækningen $s$ gennem gassen, er dæmpet med faktoren $e^{-\alpha_0 s}$. Derfor regner man lettest i gassens eget hvilesystem (Galilei-transformationen ovenfor). Her gælder for en svagt dæmpet bølge, der løber i positiv retning, dispersionsrelationen
$$ \omega'' = c\,(k'' + i\alpha_0) $$
Tilbage i laboratoriet er bølgetallet det samme, $k = k''$, mens frekvensen Doppler-forskydes: $\omega = \omega'' + kV$. Indsat giver det
$$ \omega - kV = c\,(k + i\alpha_0) \quad\Rightarrow\quad k = \frac{\omega/c - i\alpha_0}{1 + M} $$
Realdelen viser, at bølgen løber med farten $c + V$. For en bølge mod strømmen skifter $M$ fortegn. Dæmpningen er minus den imaginære del af bølgetallet:
$$ \alpha_{flow}^{\pm} = \frac{\alpha_0}{1 \pm M} $$
Hvor "$+$" angiver medstrøms (downstream) lydudbredelse, og "$-$" angiver modstrøms (upstream). $\alpha_0$ er dæmpningen uden flow. Bølgen dæmpes lige meget pr. tid i gassen; medstrøms tilbagelægger den blot længere strækning pr. sekund og dæmpes derfor mindre pr. meter rør. For en lydabsorberende beklædning, der står stille i røret, ændrer flowet også randbetingelsen ved væggen, så formlen er dér en første tilnærmelse.
Transmission Loss (TL)
Den samlede lyddæmpning, Transmission Loss, over en rørlængde $L$ udregnes herefter i decibel (dB) ved relationen $20 \log_{10}(e) \approx 8.686$:
$$ \text{TL} = 8.686 \cdot \frac{\alpha_0(f)}{1 \pm M} \cdot L \quad \text{[dB]} $$